Die Mandelbrot-Menge, im allgemeinen Sprachgebrauch oft auch „Apfelmännchen“ genannt, ist ein Fraktal, das in der Chaostheorie eine bedeutende Rolle spielt. Es wurde 1980 von Benoît Mandelbrot erstmals computergrafisch dargestellt und untersucht. Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker Pierre Fatou erarbeitet.

Außerhalb der Fachwelt wurde die Mandelbrot-Menge vor allem durch den hohen ästhetischen Reiz dieser Computergrafiken bekannt, der durch geschickte Farbgestaltung des Außenbereichs, der nicht zur Menge gehört, noch erhöht wird. Die Mandelbrot-Menge wird oft als das formenreichste geometrische Gebilde bezeichnet, das überhaupt bekannt ist. Dieser außerordentliche Formenreichtum zeigt sich an stark vergrößerten Ausschnitten des Randes, die überdies schöne Beispiele für das Konzept der Selbstähnlichkeit bei Fraktalen liefern. Trotz dieser offensichtlichen hohen inneren Ordnung wurde die Mandelbrot-Menge zum Symbol für das mathematische Chaos, welches sich allerdings von Chaos im umgangssprachlichen Sinne grundsätzlich unterscheidet.

Die Bezeichnung „Apfelmännchen“ korrespondiert mit der geometrischen Grobform einer um 90 Grad nach rechts gedrehten Mandelbrotmenge. Möglicherweise hat auch die Bezeichnung APPLEMAN für ein frühes Programm auf einem Apple-Computer zur Verbreitung dieser Bezeichnung beigetragen. Dabei standen im Rahmen eines Wortspiels APPLE für die Computermarke und MAN für eine Abkürzung von „Mandelbrot“, so dass der Programmname die damalige Beschränkung auf 8 Zeichen nicht verletzte.

Definition über Rekursion

Die Mandelbrot-Menge ist die Menge aller komplexen Zahlen c, für die die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen z₀, z₁, z₂, ... mit dem Bildungsgesetz

z_n+1 := z_n² + c

und der Anfangsbedingung

z₀ := 0

beschränkt bleibt, das heißt, der Betrag der Folgenglieder wächst nicht über alle Grenzen. Die grafische Darstellung dieser Menge erfolgt in der komplexen Ebene. Die Punkte der Menge werden dabei in der Regel schwarz dargestellt und der Rest farbig, wobei die Farbe eines Punktes den Grad der Divergenz der zugehörigen Folge widerspiegelt (siehe unten).

Definition über Julia-Mengen

Die Mandelbrot-Menge wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von Julia-Mengen eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Julia und Fatou untersucht wurden. Die Julia-Menge J_c zu einer bestimmten komplexen Zahl c ist definiert als der Rand der Menge aller Anfangswerte z₀, für die die obige Zahlenfolge beschränkt bleibt. Man kann beweisen, dass die Mandelbrot-Menge genau die Menge der Werte c ist, für die die zugehörige Julia-Menge J_c einfach zusammenhängend ist.

Verallgemeinerte Mandelbrot-Mengen

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die oben definierte Menge als die Mandelbrot-Menge bezeichnet. Verwendet man anstelle des obigen Bildungsgesetzes die Rekursionsregel

z_n+1 := f_c(z_n)

mit einer von einem komplexen Parameter c abhängige Abbildung f_c innerhalb der komplexen Zahlen, so lässt sich in analoger Weise eine zu dieser Abbildung gehörige Mandelbrot-Menge und entsprechende Julia-Mengen definieren. Der Startwert z₀ muss ein kritischer Punkt sein, das heißt, es muss f'_c(z₀)=0 gelten.

Dieses Verfahren kann auch für Funktionen mit mehr als einem komplexen Parameter c erweitert werden. Allerdings ist dann eine grafische Darstellung in zwei Dimensionen nicht mehr möglich.

Die folgenden Ausführungen beziehen sich nur auf die üblicherweise betrachtete Mandelbrot-Menge.

Geometrische und mathematische Eigenschaften

Der ungeheure Formenreichtum der Mandelbrot-Menge erschließt sich aus dem Bezug zu Julia-Mengen. Julia-Mengen zu c-Werten aus dem Randbereich der Mandelbrot-Menge sind Fraktale. Die Formen dieser fraktalen Strukturen sind innerhalb einer Julia-Menge stets die gleichen, umspannen aber für Julia-Mengen zu verschiedenen c-Werten einen enormen Formenreichtum. Es zeigt sich, dass die Strukturen der Mandelbrot-Menge in der Umgebung eines bestimmten Wertes c genau jene Strukturen der zugehörigen Julia-Menge J_c wiedergeben. Damit enthält die Mandelbrot-Menge den kompletten Formenreichtum der unendlich vielen Julia-Mengen (s. u.).

In den fraktalen Strukturen am Rand findet man verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, so genannte Satelliten. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus als auch solche außerhalb umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Es zeigt sich, dass unmittelbar am Rand eines Satelliten fast die gleichen Strukturen auftreten wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Strukturen sind jedoch nach weiter außen hin mit den Strukturen kombiniert, die für die größere Umgebung des Satelliten typisch sind. Diese Situation wird gelegentlich mit der eines biologischen Organismus und seiner Gene verglichen. Danach entspricht jedem Satelliten die Erbsubstanz einer Zelle, die den Bauplan für den kompletten Organismus enthält, während nach außen hin nur die Strukturen des lokalen Organs exprimiert sind. Es handelt sich dabei jedoch um ein rein formales Gleichnis ohne kausalen Hintergrund.

Da jeder Satellit wiederum mit Satelliten höherer Ordnung bestückt ist, lässt sich immer eine Stelle finden, an der eine beliebige Anzahl beliebiger verschiedener Strukturen in beliebiger Reihenfolge kombiniert auftritt. Diese Strukturen sind dann allerdings nur bei extremer Vergrößerung erkennbar.

Die Mandelbrot-Menge ist spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Sie ist einfach zusammenhängend, das heißt sie bildet weder Inseln noch hat sie Löcher. Ihre fraktalen Strukturen sind zwar selbstähnlich, es gibt aber keine zwei Teilstrukturen, die exakt gleich sind.

Da die Mandelbrot-Menge Kardioid- und Kreisflächen enthält, hat sie die fraktale Dimension zwei. Der Rand der Mandelbrot-Menge hat eine unendliche Länge, und seine Hausdorff-Dimension beträgt ebenfalls zwei. Numerische Annäherungen legen dies auch für die Box-Dimension nahe. Das bedeutet jedoch nicht, dass der Rand auch eine endliche Fläche hat, obwohl dies eine Zeit lang vermutet wurde. Die Fläche der Mandelbrot-Menge ist nicht einfach zu bestimmen und beträgt etwa 1,506.

Die Frage, ob die Mandelbrotmenge entscheidbar ist, gibt zunächst keinen Sinn, da überabzählbar ist. Ein Ansatz, den Begriff der Entscheidbarkeit auf überabzählbare Mengen zu verallgemeinern, stellt das Blum-Shub-Smale-Modell dar. Innerhalb dessen ist die Mandelbrotmenge nicht entscheidbar.

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Das Fliegende Spaghettimonster (engl. Flying Spaghetti Monster, kurz: FSM) ist die Gottheit einer im Juni 2005 vom US-amerikanischen Physiker Bobby Henderson gegründeten Spaßreligion, die eine Parodie auf die Intelligent-Design-Bewegung in den USA darstellt. Die Mitglieder bezeichnen sich selbst als Pastafari. Auf gläubige Pastafaris warten im Himmel angeblich unter anderem (wenn sie artig waren) ein Biervulkan und eine Stripper-Fabrik.

Idee und Verbreitung

Die Religion ist auf die öffentliche Diskussion um die Unterrichtung von Intelligent Design an US-amerikanischen Schulen zurückzuführen. In deren Folge forderte Henderson in einem offenen Brief^[1] an die Schulbehörde von Kansas, seine Glaubenslehre müsse ebenso wie die kreationistische im Unterricht vermittelt werden dürfen. Diese Forderung ist als Parodie zu verstehen und soll aufzeigen, dass religiöse Inhalte im Wissenschaftsunterricht nichts zu suchen hätten, völlig unbeschadet des persönlichen Glaubens.

Seitdem gewinnt die Spaßreligion der Pastafari stetig an Sympathisanten. Die parodistische Aktion hat sich zu einem soziokulturellen Phänomen entwickelt. Dutzende Weblogs trugen zur weiteren Verbreitung bei, deren Geschwindigkeit nur durch die technischen Möglichkeiten des Mediums Internet zu erklären ist. Ebenfalls Aufsehen erregen die enormen Preisgelder, die auf eine Widerlegung der Idee ausgelobt werden. Das Blog Boing Boing schreibt: “We are willing to pay any individual *$250,000 if they can produce empirical evidence which proves that Jesus is not the son of the Flying Spaghetti Monster.” (deutsch: „Wir sind bereit, jedem 250.000 US-Dollar zu zahlen, der den empirischen Beweis erbringen kann, dass Jesus nicht der Sohn des Fliegenden Spaghettimonsters ist.“) Das Preisgeld wurde inzwischen auf über eine Million Dollar erhöht.

Zentrale Glaubensinhalte

Zeichnung von Bobby Henderson in seinem Brief an die Schulbehörde, die die Schöpfung des Universums durch das FSM zeigt.

Autoaufkleber als Parodie des Fisches im Christentum.

• Die Welt wurde vom nicht nachweisbaren Fliegenden Spaghettimonster erschaffen. Alle Hinweise auf eine Evolution wurden von ebendiesem bewusst gestreut, um die Menschen zu verwirren.
• Bobby Henderson ist der Prophet dieser Religion.
• Das Fliegende Spaghettimonster verlangt das Tragen von Pirateninsignien (full pirate regalia). Einzige Ursache für die globale Erwärmung, Orkane und alle anderen Naturkatastrophen ist die sinkende Zahl von Piraten seit Beginn des 19. Jahrhunderts. Dies gilt unter Pastafaris als empirisch bewiesen^[2] (siehe auch cum hoc ergo propter hoc).
• Gebete beenden die Anhänger mit dem Wort Ramen, der Bezeichnung für eine asiatische Nudelsuppe.

Geschichte

Im Juni 2005 schrieb Bobby Henderson einen offenen Brief an die Schulbehörde von Kansas, USA, in dem er forderte, seine Glaubensrichtung – den FSMismus (engl. FSMism) – ebenso wie die fundamentalchristliche Überzeugung des Kreationismus in öffentlichen Schulen zu unterrichten. Die Zahl der Besuche auf Hendersons Webseite begann seitdem allmählich zu steigen, bis sie im August 2005 förmlich explodierte, nachdem sie in diversen Blogs verlinkt worden war. Suchmaschinen finden inzwischen mehrere hunderttausend Suchergebnisse zum Begriff „Flying Spaghetti Monster“.

Auf seiner Homepage zitiert Henderson unter anderem George W. Bush, der sich für die Vermittlung von nicht-evolutionären Überzeugungen wie Intelligent Design an Schulkinder ausspricht. Daher fühlt Henderson sich in seinem Anliegen, Pastafari unterrichten zu lassen, von George W. Bush bestärkt.

Die Idee wurde in zahlreichen Modifikationen vorgestellt, welche in den USA regional vertretene christliche Sekten parodieren: der Cult of Oregano, die Reformed Church of Alfredo, Orthodox Monsterist Church of West Virginia, Mystical Order of the Flying Spaghetti Monster, die Moomin Church of His Spaghettiness von Jersey (Channel Islands) oder die SPAM (The Spaghetti & Pulsar Activating Meatballs, deutsch: Die Spaghetti- und Pulsaraktivierenden Fleischbälle).

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